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O assunto deste minicurso faz parte de métodos que foram desenvolvidos inicialmente há mais de cem anos; Os assim chamados métodos de Darboux (nome dado em referência ao Matemático Gaston Darboux). Esses métodos não se tornaram muito populares na época porque envolviam muitos cálculos; não cálculos muito complicados, mas muitos (muitos, muitos, muitos… cálculos). Após o advento do computador e, especialmente da computação simbólica, essas ideias foram retomadas: nos anos 80 do (século XX) Prelle e Singer desenvolveram um método que deu novo ânimo a esta abordagem. Este minicurso começa por este método e continua por desenvolvimentos posteriores que nosso grupo de pesquisa realizou na área: por exemplo, estendendo a abordagem inicial de Prelle-Singer, que lidava com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem (1EDOs) (racionais), para ser capaz de tratar de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem (2EDOs) (racionais). Isto resultou em um algoritmo que constituiu a primeira abordagem algorítmica prática para tratar de 2EDOs já desenvolvida. Vamos falar dessas e de outras extensões. Mas qual é, efetivamente, o ponto, o valor de introduzir esses métodos a toda uma geração que, muito provavelmente, nunca ouviu falar deles? Qual é a vantagem prática, (além do aprendizado teórico) de ir além dos métodos que são usualmente ensinados ao longo do curso de física? Mostraremos que os métodos baseados nessa abordagem de Darboux podem, com o desenvolvimento dos algoritmos que apresentaremos, fazer isso com eficiência impressionante. Porque então, dada a origem “antiga” e tal eficiência, esses métodos não constam dos livros mais tradicionais? Basicamente pelo seguinte fato: os métodos dos quais falaremos apresentam uma propriedade que consideramos “quase poética”; eles transformam problemas essencialmente diferenciais em resoluções de sistemas de equações algébricas de segundo grau (vejam que fantástico!). Isso é conceitualmente maravilhoso, mas, devido ao fato que poderiam ser sistemas de equações algébricas muito extensos, eram pouco práticos para serem tratados à mão. Era teoricamente possível que uma pessoa determinada e muito organizada o fizesse, porém a chance de erros serem cometidos e o tempo envolvido nos cálculos levaram à condição de não praticidade. Porém, vivemos a Era do Computador já há bastante tempo e,com o advento dos Sistemas de Computação Algébrica (CAS, como são conhecidos internacionalmente) e a disseminação cada vez maior de computadores pessoais, não existem razões para tais abordagens continuarem no esquecimento, inclusive pelos desenvolvimentos teóricos dos últimos anos. Na nossa opinião, o mundo acadêmico está pronto (e necessita) da revitalização dessas abordagens.